کتاب اندازه, توپولوژی و هندسه فراکتال

فراکتال چیست؟ عبارت فراکتال را بنویت مندلبروت" برای اولین بار در سال ۱۹۷۵ ابداع نمود. قطعأ، برای این عبارت تعریف ریاضی وجود دارد (یا باید وجود داشته باشد) تا ایده هندسی آن را تشریح کند. همچنین، کاربردی تصویری از این مفهوم، به منظور توصیف پدیده هائی که به این ایده ریاضی نزدیکند، وجود دارد. ساده تر بگوییم، مجموعه های فراکتالی" نامنظم تر" از مجموعه های شناخته شده هندسه کلاسیک می باشند؛ هر قدر آن را بزرگ کنید، باز هم با بی نظمی های کوچکتر و کوچکتری مواجه خواهید شد. مندلبروت اذعان دارد که چنین هندسه ای بیشتر مناسب دنیای فیزیک است تا نظام های قانونمند یا خم ها و رویه های هموار. وی در صفحه اول کتاب "هندسه فراکتالی طبیعت" می نویسد: ابرها کره نیستند، کوهها مخروط نیستند، ساحل دریا دایره نیست؛ رعد و برق نیز در خط مستقیم حرکت نمی کند".[104]
مندلبروت برای تعریف فراکتال می نویسد: " یک فراکتال، بنا به تعریف، مجموعه ای است که بعد هاسدورف - بسیکویچ آن، اکیدا بزرگتر از بعد توپولوژیکش باشد". [36ص۱۵] می توان گفت که این کتاب، اثباتی بر مدعای اوست. مطالعه بعد هاسدورف (در فصل ۵) مستلزم نظریه اندازه است؛ و مطالعه بعد توپولوژیک (فصل ۲) مستلزم توپولوژی متریک است. توجه داشته باشید که مندلبروت بعدها در استفاده از این تعریف کمی احتیاط می نمود: " از نظر علمی، کلیت این تعریف قدری افراطی است ؛ نه تنها مشکل است بلکه واقعا نامناسب است... این تعریف سبب شده تا فراکتالهای مرزی بسیاری حذف شوند.هر چند، کمابیش در جبهه مقابل هندسه اسنتی اقلیدسی است. اما در مقابل هندسه آشوب ایستادگی نکرد"[46ص ۱۵۹] در فصل ۶ روشی برای ترمیم این تعریف ارائه خواهد شد که توسط تیلور پیشنهاد شده است. خود مندلبروت در چاپ دوم اثرش [36 ص459 ] کرده است که برای فراکتال، تعاریف فاضل مأبانه و حاشیه ای را به کار نبرید، در مبحث" فراکتالی" از تعاریف و عبارات کلی و اصیل، برای تمام گونه های آن در فصل ۳۹ استفان نمائید، و در هر حالت خاص، از مناسب ترین تعریف استفاده کنید. من در این کتا پیشنهاد اول او را به کار نبردم چون تعریف حاشیه ای و عوام پسند، قابل بررسی ریاضی نیست. اما عبارت" بعد فراکتال"، را با همان صورت پیشنهادی او به کار برده ام.
لازم به ذکر است که دیدگاه این کتاب، ریاضی است. کتابی درباره چگونگی پیدایش فراکتال ها در طبیعت نیست؛ اما موضوع کتاب مندلبروت چنین بوده است. کتاب حاضر به شما نمی گوید که چگونه فراکتال ها را در کامپیوتر خود رسم کنید. ( اگر چه من برای رسم تصاویر این کتاب با استفاده از رایانه مکینتاش لحظات بسیار لذت بخشی را سپری کردم. برای ترسیم فراکتال ها، در برخی قسمت ها، از برنامه لوگو استفاده کرده ایم. در متن کتاب، اثبات کامل نتایج اصلی، هر جا که لازم بوده، ارائه شده است. برای برخی نتیجه های دشوار، تنها ساده ترین حالت غیر بدیهی را ثابت کرده ایم (مانند حالت دو بعدی)، و علاقمندان مطالعه اثبات کامل را به مراجع پیشرفته تر ارجاع داده ایم.
مثالهای اصلی مورد استفاده در این کتاب، فضاهای اقلیدسی هستند (در واقع، اکثرأ فضاهای اقلیدسی دو بعدی بررسی خواهد شد؛ اما همانطور که خواهیم دید، استفاده از فضاهای محض، مانند فضای متریک مناسب تر است.
این کتاب به هندسه فراکتال می پردازد؛ اما هندسه دینامیک آشوب را پوشش نمی دهد. هندسه دینامیک آشوب، گر چه به موضوع فراکتال ها ارتباط دارد،